为什么使用正弦波作为信号分析等领域的基础?

能想到的是频谱单一,利用率高,正弦信号易产生,滤波简单,不像方波、三角波需要考虑多次谐波的问题;其次,高频的正弦信号方便解决其传播问题;再次,频谱利用率高,携带的信息量大;更重要的是,我们研究的系统往往都是线性时不变即LTI系统,能够证明LTI系统的特征向量就是ej(ωt)。

在数学上,特征向量是个很优美的东西。这体现在系统作用在特征向量上,并不会改变向量的方向,只是变变幅度而已。也就是说,如果对LTI系统输入正弦波,输出肯定还是正弦波,只是加了个权值而已!(这个权值-也就是特征值,就是常说的频率响应。

这样研究信号与系统就方便多了,只要把信号用特征向量表示,就能很容易的得到系统输出信号(每个分量乘以响应的特征值就行)。比较容易直观的理解方式就是,时域卷积 <——> 频域乘积。

用正弦函数定义频率,首先是因为正弦函数是最简单的连续有周期性的函数;其次,它在求导算子作用下周期不会变。求导算子的特征函数是e(ix),看看傅里叶变换的核函数,这说明傅里叶变换在微分方程上做处理很方便,感觉跟数论里的模运算很相似;最后,在有限的闭区间上,所有连续或者间断点可数的函数构成的空间,可以用正弦函数构成的空间逼近,这是空间分解和构成的问题,是信号分析的主要问题。

并不只是因为计算方便,所有满足狄立克雷收敛条件的信号均存在傅立叶变换,傅里叶变换其实就是把一个复杂信号表为多个不同的幅度频率的正弦信号叠加。正如信号系统中单位冲击响应的意义一样,我们明白了单位冲击的系统响应,对于LTI系统而言,当输入信号表达为延时和加权的单位冲击时,其输出也会是单位冲击响应的响应延时和加权。系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数(系统的冲激响应)做卷积获得。同样的,我们搞清楚了单个正弦信号的响应,当输入能表示为多个正弦信号叠加的时候,其输出也就很容易得到。

从数学本质上来看,正弦信号就是匀速圆周运动在某一直线轴上的分解。所以,发电机中线圈切割磁感线,就直接输出正弦形式的电压(交流电)。许多电子设备中,作为频率源的电子元件是晶振,而晶振产生正弦波的本质还是晶体在外加电场作用下的机械振动,即正弦振动。

三角函数集是一种傅里叶变换的正交基,三角函数还能反应自然界事物运动的一定规律,即旋转物体对平面的投影。

为什么使用正弦波作为信号分析等领域的基础?

前面提到特征向量ej(ωt),而根据欧拉公式

为什么使用正弦波作为信号分析等领域的基础?

为什么使用正弦波作为信号分析等领域的基础?

这也是IQ正交调制的理论依据,我们可以利用实信号sinωt和cosωt,构造出便于符合理论计算的复信号。

不仅在信号分析,通信领域的调制解调(其实通信可以算是这些理论分析的具体运用),几乎都离不开正弦信号。

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