频谱、频谱密度、能量谱、功率谱,对比着看,比较靠谱!

频谱、频谱密度、能量谱、功率谱,也有很多小伙伴深深的陷入沉思,迷惑不解。

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确知信号,是指其取值在任何时间都是确定的和可预知的信号,通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值。例如,振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波,它就是一个确知信号。按照是否具有周期重复性,确知信号可以分为周期信号和非周期信号。在数学上,若一个信号f(t) 满足下述条件

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式中,T>0,为一常数,则称此信号为周期信号,否则为非周期信号。满足上式的最小T 称为此信号的周期T0,将1/T0 称为基频f0。一个无限长的正弦波,例如f(t)=8sin(5t+1),就属于周期信号,其周期T0=2π/5;一个矩形脉冲就是非周期信号。

我们再从一个高中物理知识来引出能量信号和功率信号的概念。已知阻值为R 的电阻上的电压和电流分别为i,则此电信号的瞬时功率为:

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可认为信号电流或电压的平方都等于功率。后面我们一般用S 代表信号的电流或电压来计算信号功率。若信号电压和电流的值随时间变,则S 可以改那些为时间t 的函数f(t)。故f(t)代表信号电压或电流的时间波形。这时,信号能量E 应当是信号瞬时功率的积分。

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如果上述积分存在,则称之为能量信号。信号f(t) 的能量有限,称为能量有限信号,简称能量信号。满足能量有限条件,实际上就满足了绝对可积条件。能量有限信号是指能量有限(能量为正的有限值)且不为0,而平均功率为0。典型的能量信号如方波信号、三角波信号等,非周期的确定信号是能量信号。

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对于一些能量不可积的无限信号而言,如周期信号和能量无限的随机信号,无法用其能量来描述,此时就需要用功率来描述这类信号。功率就是指该信号在整个时间域内的能量累计对时间的平均;功率有限信号是指能量无穷大(或叫无限),而平均功率有限(平均功率为有限的正值)的信号。

信号的平均功率:

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在实际的通信系统中,信号都具有有限的功率、有限的持续时间,因而具有有限的能量。但是,若信号的持续时间非常长,则可近似认为它具有无限长的持续时间。此时,信号平均功率是一个有限的正值,但是其能量近似等于无穷大。我们把这种信号称为功率信号。

总结一下,信号可以分成两类:

  • 能量信号:其能量等于一个有限正值,但平均功率为零;

  • 功率信号:其平均功率等于一个有限正值,但能量为无穷大。

确知信号在频域中的性质,即频率特性,由其各个频率分量的分布表示。它是信号的最重要的性质之一,和信号的占用频带宽带以及信号的抗噪声能力有密切关系。信号的频率特性有四种,即功率信号的频谱、能量信号的频谱密度、能量信号的能量谱密度和功率信号的功率谱密度。

01
    频谱    

我们正常所说的频谱,通常指的是傅里叶级数。

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这里不再赘述,直接上图。

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傅里叶级数的三维表示

 

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脉冲方波的傅里叶级数

02
  频谱密度  

设一个能量信号为s(t),则将它的傅里叶变换定义为它的频谱密度

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能量信号的频谱密度F(w) 和周期性功率信号的频谱Cn 的主要区别有两点:

  • F(w) 是连续谱,Cn 是离散谱;

  • F(w) 的单位是伏/赫(V/Hz),Cn 的单位是伏(V)。

能量信号的能量有限,并分布在连续频率轴上,所以在每个频率点上信号的幅度是无穷小,只有在一个小段频率间隔df 上才有确定的非零振幅;功率信号的功率有限,但能量无限,它在无限多的离散频率点上有确定的非零振幅。

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傅里叶级数如何过度到傅里叶频谱

从上图中,我们可以看出,当脉冲信号的周期不断变大的时候,频谱宽度逐步变窄。这个时候我们画出F(nw)/的频谱密度函数。图中红色长方形,宽度为w,长度为F(nw)/w,面积为F(nw)

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傅里叶级数到傅里叶变换,离散到连续的谱。

一般情况下,在针对能量信号讨论问题时,也常把频谱密度简称为频谱,这时在概念上不要把它和周期信号的频谱相混淆。

03
 能量谱密度 

能量谱也叫能量谱密度,针对能量有限的信号,是指用密度的概念表示信号能量在各频率点的分布情况。也就是说,对能量谱在频域上积分就可以得到信号的能量。能量谱(密度)是信号幅度谱的模的平方,能量谱(密度)也是能量信号傅里叶变换绝对值的平方(帕塞瓦尔定理)。能量谱密度的单位是焦耳/Hz。

设一个能量信号s(t) 的能量为E,此信号的傅里叶变换(即频谱密度)为S(f),则由(帕塞瓦尔定理)得知:

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其中,G(f) 为能量谱密度。式中|S()|²在频率轴上的积分等于信号能量,所以称|S()|²为能量谱密度,它表示在频率处宽度为df 的频带内的信号能量,后者也可以看作是单位频带内的信号能量。

04
功率谱密度

由于功率信号具有无穷大的能量,所以上述公式的积分不存在,不能计算功率信号的能量谱密度,但可以求出它的功率谱密度。为此,我们首先将信号s(t) 截短长度等于T 的一个截短信号ST(t),-T/2<t<T/2。这样,ST(t) 就成为一个能量信号了。对于这个能量信号,我们可以用傅里叶变换求出其能量谱密度|ST()|²,并由(帕塞瓦尔定理)定理有

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其中,P() 定义为信号的功率谱密度。

功率谱也叫功率谱密度(power spectral density,PSD),针对功率有限的信号,从名字分解来看,观察对象是功率,观察域是谱域(通常指频域)。密度是指观察对象在观察域的分布情况,也就是指信号功率随着频率的变化情况。所以,针对功率有限信号,功率谱密度定义为单位频带内的信号功率随频率的变化情况。也就是说,对功率谱在频域上积分就可以得到信号的功率。

频谱与功率谱、能量谱有啥区别和联系?

  • 一个信号的频谱,是指将信号从时域表示转变为频域表示,而功率谱、能量谱是从功率、能量的观点对信号进行的研究。其实频谱和功率谱的关系归根结底还是信号和功率、能量等之间的关系。

  • 频谱通常指信号的Fourier变换,是一个时间平均 (time average) 概念,频谱反映的是信号幅度和相位随频率的分布情况,它在频域中描述了信号的特征。功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析),所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。功率谱保留了频谱分析的幅度信息,但是丢掉了频谱分析的相位信息,所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。

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文章来源:声振之家

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